Éléments propres d'un endomorphisme

Dans cette section, $u$ est un endomorphisme de $E$ : $u \in L(E)$.

Proposition 1:

Soit $x$ un vecteur non nul de $E$. La droite $D = \text{Vect}(x) = Kx$ est stable par $u$ si, et seulement si, il existe $\lambda \in K$ tel que $u(x) = \lambda x$. Dans ce cas, pour tout $y \in D$, $u(y) = \lambda y$.

Démonstration :

• Si $D$ est stable par $u$, alors $u(x) \in D = Kx$, d'où il existe $\lambda \in K$ tel que $u(x) = \lambda x$.
• S'il existe $\lambda \in K$ tel que $u(x) = \lambda x$, alors, pour tout $y \in D$, il existe $\alpha \in K$ tel que $y = \alpha x$, d'où $u(y) = \alpha u(x) = \alpha \lambda x \in D$, donc $D$ est stable par $u$ et pour tout $y \in D$, $u(y) = \lambda y$.

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Définition 1:

On dit que $\lambda \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non nul $x \in E$ vérifiant $u(x) = \lambda x$. On dit que $x \in E$ est un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ si $x$ est non nul et vérifie $u(x) = \lambda x$.

Lorsque $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$, on appelle sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ l'ensemble noté (dans ce cours) $E_\lambda(u)$ et défini par :

$E_\lambda(u) = \text{Ker}(u - \lambda \text{ id}_E) = \{x \in E, u(x) = \lambda x\}$

On appelle équation aux éléments propres l'équation

$u(x) = \lambda x$

d'inconnue $(\lambda, x) \in K \times E$.

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Remarques :

• Un vecteur propre d'un endomorphisme n'est jamais nul.
• Une droite $D$ de $E$ est stable par $u$ si, et seulement si, elle est engendrée par un vecteur propre de $u$.
• Une droite $D$ de $E$ est stable par $u$ si, et seulement si, elle est incluse dans un sous-espace propre de $u$.
• Si $\lambda \in K$ est une valeur propre de $u$, les vecteurs propres de $u$ associés à $\lambda$ sont donc tous les vecteurs non nuls du sous-espace propre $E_\lambda(u)$.
• Le sous-espace propre $E_\lambda(u)$ est donc la réunion du vecteur nul et de tous les vecteurs propres de $u$ associés à $\lambda$.
• $\lambda \in K$ n'est pas une valeur propre de $u$ si, et seulement si, $\text{Ker}(u - \lambda \text{ id}_E) = \{0\}$.
• Plus généralement, on notera $E_\lambda(u) = \text{Ker}(u - \lambda \text{ id}_E)$ pour tout $\lambda \in K$.
• Ainsi : $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$ si, et seulement si, $E_\lambda(u) \neq \{0\}$.
• $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$ si, et seulement si, $u - \lambda \text{ id}_E$ n'est pas injectif.
• Pour tout $\lambda \in K$, $E_\lambda(u)$ est stable par $u$ (car $u$ et $u - \lambda \text{ id}_E$ commutent).
• De plus, lorsque $\lambda$ est valeur propre de $u$, l'endomorphisme de $E_\lambda(u)$ induit par $u$ est l'homothétie de rapport $\lambda$.
• Pour tout $(\lambda, \mu) \in K^2$: $E_{\lambda+\mu}(u+\mu \text{ id}_E) = \text{Ker}((u+\mu \text{ id}_E) - (\lambda+\mu) \text{ id}_E) = \text{Ker}(u - \lambda \text{ id}_E) = E_\lambda(u)$

Exemples :

Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :

• l'endomorphisme de transposition de $M_n(K)$, $t : A \mapsto A^T$,
• l'endomorphisme de dérivation $D_1 : P \mapsto P'$ de $K[X]$,
• l'endomorphisme de dérivation $D_2 : f \mapsto f'$ de $C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$,
• l'endomorphisme $u : P \mapsto xP'$ de $K[X]$.