Lemme 16 :

Soit $(A,B) \in (\mathcal{M}_n(\mathbb{K}))^2$. L'application $x \mapsto \det(A+x.B)$ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $n$.

Démonstration :

$\star$ Pour $n=1$, le résultat est immédiat : $x \mapsto \det(A+x.B) = a_{11}+b_{11}x$ est bien une fonction polynomiale de degré au plus 1.

$\star$ Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}$. Supposons le résultat vrai pour toutes matrices de $\mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})$. Soit $(A,B) \in (\mathcal{M}_n(\mathbb{K}))^2$. Effectuons un développement selon la première colonne :

$$\det(A+x.B) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}(a_{i1}+xb_{i1})\det(A_{i,1}+x.B_{i,1})$$

où $A_{i,1}$ (resp. $B_{i,1}$) est la matrice carrée d'ordre $n-1$ obtenue à partir de $A$ (resp. $B$) en éliminant la première colonne et la $i^{ème}$ ligne. D'après l'hypothèse de récurrence, $x \mapsto \det(A_{i,1}+x.B_{i,1})$ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $n-1$ d'où, par règle du produit et de la somme des polynômes, $x \mapsto \det(A+x.B)$ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $n$.

Définition 4 :

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On appelle polynôme caractéristique de $A$ l'unique polynôme de $\mathbb{K}[X]$, noté $\chi_A$, vérifiant : $\forall \lambda \in \mathbb{K}$, $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$.

Proposition 17 :

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Le polynôme caractéristique de $A$ est un polynôme unitaire de degré $n$ et on a :

$$\chi_A(X) = X^n - \text{tr}(A)X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A).$$

Démonstration :

$\star$ Le coefficient constant d'un polynôme est égal à la valeur en 0 de ce polynôme. Donc, le coefficient constant du polynôme caractéristique de $A$ est égal à $\chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$.

$\star$ Initialisation : Si $A = (a) \in \mathcal{M}_1(\mathbb{K})$, alors $\chi_A(X) = X-a$ est un polynôme unitaire de degré $n=1$. De plus, le coefficient de $X^{n-1}$ est égal à $-a = -\text{tr}(A)$.

Donc, le raisonnement par récurrence est initialisé pour $n=1$.

$\star$ Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}$. Supposons que, pour toute matrice carrée d'ordre $n-1$, son polynôme caractéristique est un polynôme unitaire de degré $n-1$ dont le coefficient de $X^{n-2}$ est égal à l'opposé de la trace de la matrice. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Développons le polynôme caractéristique de $A$ selon la première colonne, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ :

$$\chi_A(\lambda) = (\lambda - a_{11})\det(\lambda I_{n-1} - A_{1,1}) + \sum_{i=2}^{n} (-a_{i1})(-1)^{i+1}\Delta_{i,1}(\lambda)$$

où $A_{1,1}$ est la matrice obtenue à partir de $A$ en éliminant sa première ligne et sa première colonne, et, pour tout $i \in [2,n]$, $\Delta_{i,1}(\lambda)$ est le déterminant de la matrice obtenue à partir de $\lambda I_n - A$ en éliminant la première colonne et $i^e$ ligne.

Nous pouvons alors remarquer que la première ligne de $\Delta_{1,1}(\lambda)$ ne dépendent pas de $\lambda$, donc, en le développant selon cette ligne et en utilisant le lemme, on se rend compte que c'est une fonction polynomiale de degré au plus $n-2$.

De plus, d'après l'hypothèse de récurrence, $\det(\lambda I_{n-1} - A_{11})$ est une fonction polynomiale unitaire de degré $n-1$ avec $\det(\lambda I_{n-1} - A_{11}) = \lambda^{n-1} - \text{tr}(A_{1,1})\lambda^{n-2} + \dots$ avec $\text{tr}(A_{1,1}) = \sum_{i=2}^{n} a_{ii}$.

Comme $(\lambda - a_{11})$ est une fonction polynomiale unitaire de degré 1, on en déduit, par les opérations sur les polynômes, que $\chi_A(\lambda)$ est une fonction polynomiale unitaire de degré $n$. De plus, le terme en $\lambda^{n-1}$ de $\chi_A(\lambda)$ est celui de : $(\lambda - a_{11})\det(\lambda I_{n-1} - A_{11}) = \lambda^n - \text{tr}(A_{1,1})\lambda^{n-1} - a_{11}\lambda^{n-1} + \dots = \lambda^n - \text{tr}(A)\lambda^{n-1} + \dots$ Ainsi, le coefficient de $\lambda^{n-1}$ est bien $-\text{tr}(A)$. Par conséquent, la propriété est héréditaire.

Remarques :

• Si $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$, alors on a : $\chi_A(X) = X^2 - \text{tr}(A)X + (-1)^2 \det(A)$.
• Si $n \geq 3$, les autres coefficients de $\chi_A$ ne sont pas donnés car ils n'ont pas une expression aussi simple.

Proposition 18 :

• Deux matrices carrées semblables ont le même polynôme caractéristique.
• Une matrice carrée et sa transposée ont le même polynôme caractéristique.
• Le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire de diagonale $(a_1, \dots, a_n)$ est égal à $\prod_{i=1}^{n} (X - a_i)$.

Démonstration :

• Si $A$ et $B$ sont semblables alors $\lambda I_n - A$ et $\lambda I_n - B$ le sont aussi : $\lambda I_n - A = P(\lambda I_n - B)P^{-1}$ et ont donc même déterminant, d'où $\chi_A = \chi_B$.
• De même, $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A) = \det((\lambda I_n - A)^T) = \det(\lambda I_n - A^T) = \chi_{A^T}(\lambda)$.
• Si $A$ est triangulaire de diagonale $(a_1, \dots, a_n)$, alors $\lambda I_n - A$ est triangulaire de diagonale $(\lambda-a_1, \dots, \lambda-a_n)$, et le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux, d'où $\chi_A(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} (\lambda - a_i)$.