Théorème 21 : Théorème de Cayley-Hamilton

• Le polynôme caractéristique de $u \in \mathcal{L}(E)$ annule de $u$: $\chi_u(u) = 0_E$.
• Le polynôme caractéristique de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ annule $A$: $\chi_A(A) = 0$.

Démonstration :

(La démonstration n'est pas exigible.)

• Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Nous allons montrer que $\chi_u(u) = 0_E$ pour tout $x \in E$. C'est immédiat pour le vecteur nul. Maintenant considérons un vecteur $x$ non nul de $E$. Comme $E$ est de dimension $n$, la famille $(x, u(x), \dots, u^n(x))$ est liée et la famille $(x)$ est libre (car $x \neq 0$). Par conséquent, il existe $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $(x, u(x), \dots, u^{p-1}(x))$ est libre et que $(x, u(x), \dots, u^p(x))$ est liée. Ainsi, il existe $(a_0, \dots, a_{p-1}) \in \mathbb{K}^p$ tel que $u^p(x) = \sum_{i=0}^{p-1} a_i u^i(x)$. Complétons la famille libre $(x, u(x), \dots, u^{p-1}(x))$ en une base $\mathcal{B}$ de $E$,

alors la matrice de $u$ dans cette base s'écrit par blocs : $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & a_{p-1} \end{pmatrix}$

Alors, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $\chi_u(\lambda) = \chi_A(\lambda)\chi_B(\lambda)$ avec $\chi_A(\lambda) = \lambda^p - \sum_{k=0}^{p-1} a_k \lambda^k$ (par $L_1 \leftarrow \sum_{i=1}^{p} \lambda^{i-1} L_i$),

d'où $\chi_A(u) = u^p - \sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k$ et $\chi_A(u)(x) = u^p(x) - \sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k(x) = 0_E$.

Comme $\chi_u(u) = \chi_B(u) \circ \chi_A(u)$, on en déduit : $\chi_u(u)(x) = \chi_B(u)(\chi_A(u)(x)) = \chi_B(u)(0_E) = 0_E$. En conclusion, $\chi_u(u)$ est l'endomorphisme nul : $\chi_u$ est un polynôme annulatoire de $u$.

• Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Notons $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $A$. Alors $\chi_A = \chi_u$ et $\chi_A(A)$ est la matrice dans la base canonique de $\mathbb{K}^n$ de l'endomorphisme $\chi_A(u) = \chi_u(u) = 0$. d'où $\chi_A(A)$ est la matrice nulle : $\chi_A$ est un polynôme annulatoire de $A$.