Proposition 22 : Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. $\lambda$ est une valeur propre de $u \in \mathcal{L}(E)$ si, et seulement si, il est racine du polynôme caractéristique de $u$. Ainsi : $Sp(u) = \{\lambda \in \mathbb{K}, \chi_u(\lambda) = 0\}$. $\lambda$ est une valeur propre de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ si, et seulement si, il est racine du polynôme caractéristique de $A$. Ainsi : $Sp(A) = \{\lambda \in \mathbb{K}, \chi_A(\lambda) = 0\}$.

Démonstration :

• En dimension finie, $\lambda$ est valeur propre de $u \in \mathcal{L}(E)$ si, et seulement si, $u - \lambda Id_E$ n'est pas bijectif, c'est-à-dire si, et seulement si, $det(\lambda Id_E - u) = 0$.
• De même, $\lambda$ est valeur propre de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ si, et seulement si, $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si, et seulement si, $det(\lambda I_n - A) = 0$.

Remarques :

• On retrouve le fait que toute matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et tout endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ possèdent au plus $n$ valeurs propres distinctes.
• Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, alors $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ possède au moins une valeur propre, d'après le théorème de d'Alembert-Gauss.
• Il en est de même pour tout endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie.
• Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et si $n$ est impair, alors $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ possède au moins une valeur propre réelle (d'après le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème de factorisation des polynômes dans $\mathbb{R}[X]$).
• Il en est de même pour tout endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension impaire.
• Pour une matrice réelle $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on a : $Sp(A) = \{\lambda \in \mathbb{R}, \chi_A(\lambda) = 0\} = Sp_{\mathbb{R}}(A)$ et $Sp_{\mathbb{C}}(A) = \{\lambda \in \mathbb{C}, \chi_A(\lambda) = 0\}$.
• Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u \in \mathcal{L}(E)$ et si on note $u_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $u$, on retrouve le fait que $Sp(u_F) \subset Sp(u)$ car $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.

Corollaire 23 : Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est une matrice triangulaire de diagonale $(a_1, \ldots, a_n)$, alors $Sp(A) = \{a_1, \ldots, a_n\}$.

Définition 6 : On appelle multiplicité d'une valeur propre $\lambda$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ (resp. de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$) son ordre de multiplicité comme racine du polynôme caractéristique $\chi_u$ (resp. $\chi_A$). Dans ce cours, nous noterons $m(\lambda)$ la multiplicité de $\lambda$.

Remarque :

• En particulier, une valeur propre est dite simple, double, triple... si c'est une racine simple, double, triple... du polynôme caractéristique.

Dans certaines raisonnements, il peut être pratique de poser $m(\lambda) = 0$ pour traduire qu'un certain scalaire $\lambda$ n'est pas valeur propre.

Corollaire 24 :

• Deux matrices carrées semblables ont les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.
• Une matrice carrée et sa transposée ont les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.

Proposition 25 : Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. Si $\lambda \in Sp_C(A)$, alors $m(\overline{\lambda}) = m(\lambda)$.

Démonstration : Si $\lambda \in \mathbb{R}$, c'est immédiat car $\overline{\lambda} = \lambda$. Sinon, d'après les propriétés des racines non réelles d'un polynôme réel, $\lambda$ et $\overline{\lambda}$ ont la même multiplicité car $\chi_A \in \mathbb{R}[X]$.

Proposition 26 :

• Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Pour tout $\lambda \in Sp(u)$, on a : $1 \le \dim E_\lambda(u) \le m(\lambda)$.
• Soit $A \in M_n(\mathbb{K})$. Pour tout $\lambda \in Sp(A)$, on a : $1 \le \dim E_\lambda(A) \le m(\lambda)$.

Démonstration :

• Soit $\lambda \in Sp(u)$. Ainsi $E_\lambda(u) \ne \{0_E\}$ donc $\dim E_\lambda(u) \ge 1$. De plus, $E_\lambda(u)$ est stable par $u$ et l'endomorphisme de $E_\lambda(u)$ induit par $u$ est l'homothétie de rapport $\lambda$. Son polynôme caractéristique est donc $(X-\lambda)^{p(\lambda)}$, où $p(\lambda) = \dim(E_\lambda(u))$, et divise le polynôme caractéristique de $u$. On en déduit que la multiplicité $m(\lambda)$ de la racine $\lambda$ de $\chi_u$ est au moins égale à $p(\lambda)$. Donc $p(\lambda) = \dim(E_\lambda(u)) \le m(\lambda)$.
• Le résultat s'adapte immédiatement aux matrices de $M_n(\mathbb{K})$ en utilisant l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé.

Corollaire 27 :

• Si $\lambda$ est une valeur propre simple de $u \in \mathcal{L}(E)$, alors $\dim E_\lambda(u) = 1$.
• Si $\lambda$ est une valeur propre simple de $A \in M_n(\mathbb{K})$, alors $\dim E_\lambda(A) = 1$.

Proposition 28 :

• Soit $A \in M_n(\mathbb{K})$. Si $\chi_A(X) = \prod_{i=1}^n (X-\alpha_i)$ est scindé sur $\mathbb{K}$, alors : $Sp(A) = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$, $\mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \alpha_i$ et $\det(A) = \prod_{i=1}^n \alpha_i$.
• Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Si $\chi_u(X) = \prod_{i=1}^n (X-\alpha_i)$ est scindé sur $\mathbb{K}$, alors : $Sp(u) = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$, $\mathrm{tr}(u) = \sum_{i=1}^n \alpha_i$ et $\det(u) = \prod_{i=1}^n \alpha_i$.

Démonstration :

C'est une conséquence des relations racines-coefficients d'un polynôme scindé, ce qui donne ici, en notant $a_i$ le coefficient de degré $i$ du polynôme caractéristique :

$$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} = -\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \quad \text{et} \quad \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} = (-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}$$

et on sait que $a_n = 1, a_{n-1} = -\text{tr}(A) \text{ et } a_0 = (-1)^n \det(A)$.