Définitions et premières propriétés

Définition 7 :

  • Un endomorphisme uL(E)u \in \mathcal{L}(E) est dit diagonalisable lorsqu'il existe une base B\mathcal{B} de EE dans laquelle la matrice de uu est diagonale. Une telle base s'appelle une base de diagonalisation de uu. On dit aussi que uu est diagonalisable dans la base B\mathcal{B}.
  • Une matrice carrée AMn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est dite diagonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire lorsqu'il existe une matrice diagonale DMn(K)D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) et une matrice inversible PGLn(K)P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{K}) telles que A=PDP1A = PDP^{-1}.

Remarques :

  • Diagonaliser un endomorphisme uu de EE signifie déterminer une base de diagonalisation de uu.
  • Diagonaliser une matrice AMn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) signifie déterminer une matrice diagonale DMn(K)D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) et une matrice inversible PGLn(K)P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{K}) telles que A=PDP1A = PDP^{-1}.
  • Une matrice réelle AMn(R)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) peut ne pas être diagonalisable dans Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), mais peut l'être dans Mn(C)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}).
  • Si AMn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est diagonalisable, alors AA est semblable à une matrice diagonale DMn(K)D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), d'où AA^{\top} est semblable à la matrice diagonale D=DD^{\top} = D (car la transposée d'une matrice inversible est inversible), d'où AA^{\top} est diagonalisable. Et par symétrie immédiate, on en déduit donc que AA est diagonalisable si, et seulement si, AA^{\top} est diagonalisable.
  • De plus, nous venons de prouver que, si AA est diagonalisable, alors AA et AA^{\top} sont semblables (puisqu'elles sont toutes les deux semblables à la même matrice DD).
  • Le résultat est vrai pour tout matrice carrée, mais il est très difficile à prouver dans le cas général.

Proposition 29 :

uL(E)u \in \mathcal{L}(E) est diagonalisable dans la base B\mathcal{B} si, et seulement si, B\mathcal{B} est une base de EE formée de vecteurs propres de uu.

Démonstration :

B=(e1,,en)\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n) est une base de diagonalisation de uL(E)u \in \mathcal{L}(E) si, et seulement si,

MB(u)=(λ1000λ2000λn)avec(λ1,,λn)KnM_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n

et MB(u)M_{\mathcal{B}}(u) est de cette forme si, et seulement si : i[1,n]\forall i \in [1,n], u(ei)=λieiu(e_i) = \lambda_i e_i.

Remarque :

  • L'application idE\text{id}_E, l'application nulle de EE et, de manière générale, les homothéties de EE sont diagonalisables car leurs matrices dans toute base de EE sont diagonales. La matrice de h=λidEh = \lambda \text{id}_E dans toute base de EE est λIn\lambda I_n. Toute base de EE est une base diagonalisation pour les homothéties (exemple de référence).

Proposition 30 : Soit uL(E)u \in \mathcal{L}(E) dont AMn(K)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est sa matrice dans une base de EE. AA est diagonalisable si, et seulement si, uu est diagonalisable.

Démonstration : Notons B0B_0 la base de EE telle que A=MB0(u)A = \mathcal{M}_{B_0}(u).

  • Si uu est diagonalisable, il existe une base B\mathcal{B} de EE dans laquelle la matrice DD de uu est diagonale. Donc, puisqu'elles représentent le même endomorphisme, la matrice AA est semblable à la matrice DD diagonale, donc AA est diagonalisable.
  • Réciproquement, si AA est diagonalisable, considérons une matrice diagonale DMn(K)D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et une matrice inversible PGLn(K)P \in \text{GL}_n(\mathbb{K}) telles que A=PDP1A = PDP^{-1}. Comme PP est inversible, nous savons qu'il existe une base B\mathcal{B} de EE telle que P=MB0(B)P = \mathcal{M}_{B_0}(\mathcal{B}). Ainsi, PP est la matrice de passage de la base B0B_0 à la base B\mathcal{B} et les formules de changement de bases nous disent que la matrice de uu dans la base B\mathcal{B} est P1APP^{-1}AP, c'est-à-dire DD et elle est diagonale, donc uu est diagonalisable.

Corollaire 31 : AMn(K)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est diagonalisable si, et seulement si, son endomorphisme de Kn\mathbb{K}^n canoniquement associé est diagonalisable.

Remarque : AMn(K)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de Kn\mathbb{K}^n formée de vecteurs propres de AA. De plus, lorsqu'elle est diagonalisable, on a : A=PDP1A = PDP^{-1} avec DMn(K)D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) diagonale et PGLn(K)P \in \text{GL}_n(\mathbb{K}). PP est alors la matrice de passage de la base canonique B0B_0 de Kn\mathbb{K}^n à une base B\mathcal{B} formée de vecteurs propres, c'est-à-dire P=MB0(B)P = \mathcal{M}_{B_0}(\mathcal{B}) et les coefficients diagonaux de DD sont les valeurs propres de AA, placées dans le même ordre que leurs vecteurs propres associés dans la base B\mathcal{B}.

Exercises