Définitions et premières propriétés
Définition 7 :
- Un endomorphisme u∈L(E) est dit diagonalisable lorsqu'il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. Une telle base s'appelle une base de diagonalisation de u. On dit aussi que u est diagonalisable dans la base B.
- Une matrice carrée A∈Mn(K) est dite diagonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire lorsqu'il existe une matrice diagonale D∈Mn(K) et une matrice inversible P∈GLn(K) telles que A=PDP−1.
Remarques :
- Diagonaliser un endomorphisme u de E signifie déterminer une base de diagonalisation de u.
- Diagonaliser une matrice A∈Mn(K) signifie déterminer une matrice diagonale D∈Mn(K) et une matrice inversible P∈GLn(K) telles que A=PDP−1.
- Une matrice réelle A∈Mn(R) peut ne pas être diagonalisable dans Mn(R), mais peut l'être dans Mn(C).
- Si A∈Mn(K) est diagonalisable, alors A est semblable à une matrice diagonale D∈Mn(K), d'où A⊤ est semblable à la matrice diagonale D⊤=D (car la transposée d'une matrice inversible est inversible), d'où A⊤ est diagonalisable. Et par symétrie immédiate, on en déduit donc que A est diagonalisable si, et seulement si, A⊤ est diagonalisable.
- De plus, nous venons de prouver que, si A est diagonalisable, alors A et A⊤ sont semblables (puisqu'elles sont toutes les deux semblables à la même matrice D).
- Le résultat est vrai pour tout matrice carrée, mais il est très difficile à prouver dans le cas général.
Proposition 29 :
u∈L(E) est diagonalisable dans la base B si, et seulement si, B est une base de E formée de vecteurs propres de u.
Démonstration :
B=(e1,…,en) est une base de diagonalisation de u∈L(E) si, et seulement si,
MB(u)=λ10⋮00λ2⋱⋯⋯⋱⋱00⋮0λnavec(λ1,…,λn)∈Knet MB(u) est de cette forme si, et seulement si : ∀i∈[1,n], u(ei)=λiei.
Remarque :
- L'application idE, l'application nulle de E et, de manière générale, les homothéties de E sont diagonalisables car leurs matrices dans toute base de E sont diagonales. La matrice de h=λidE dans toute base de E est λIn. Toute base de E est une base diagonalisation pour les homothéties (exemple de référence).
Proposition 30 : Soit u∈L(E) dont A∈Mn(K) est sa matrice dans une base de E. A est diagonalisable si, et seulement si, u est diagonalisable.
Démonstration : Notons B0 la base de E telle que A=MB0(u).
- Si u est diagonalisable, il existe une base B de E dans laquelle la matrice D de u est diagonale. Donc, puisqu'elles représentent le même endomorphisme, la matrice A est semblable à la matrice D diagonale, donc A est diagonalisable.
- Réciproquement, si A est diagonalisable, considérons une matrice diagonale D∈Mn(K) et une matrice inversible P∈GLn(K) telles que A=PDP−1. Comme P est inversible, nous savons qu'il existe une base B de E telle que P=MB0(B). Ainsi, P est la matrice de passage de la base B0 à la base B et les formules de changement de bases nous disent que la matrice de u dans la base B est P−1AP, c'est-à-dire D et elle est diagonale, donc u est diagonalisable.
Corollaire 31 : A∈Mn(K) est diagonalisable si, et seulement si, son endomorphisme de Kn canoniquement associé est diagonalisable.
Remarque : A∈Mn(K) est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de Kn formée de vecteurs propres de A. De plus, lorsqu'elle est diagonalisable, on a : A=PDP−1 avec D∈Mn(K) diagonale et P∈GLn(K). P est alors la matrice de passage de la base canonique B0 de Kn à une base B formée de vecteurs propres, c'est-à-dire P=MB0(B) et les coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres de A, placées dans le même ordre que leurs vecteurs propres associés dans la base B.
Exercises
Montrer que l'endomorphisme f de R2 défini par (x,y)↦f(x,y)=(y−x,2x) est diagonalisable et donner une base de diagonalisation de f.
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Diagonaliser la matrice A=(1023) si c'est possible.
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