Proposition 2 :

Soit $u$ un automorphisme de $E$, c'est-à-dire $u \in GL(E)$.

• Les valeurs propres de $u$ sont toutes non nulles.
• $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$, et seulement si, $\frac{1}{\lambda}$ est valeur propre de $u^{-1}$.
• Si $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$, alors $E_\lambda(u^{-1}) = E_{\frac{1}{\lambda}}(u)$.

Démonstration :

u est bijectif, d'où u est injectif, donc $\ker(u) = \{0_E\}$, c'est-à-dire $\ker(u-0 \cdot \mathrm{id}_E) = \{0_E\}$. donc $0$ n'est pas une valeur propre de $u$. Ainsi, si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, alors $\lambda \neq 0$. De plus, si $\lambda$ est valeur propre de $u$, alors il existe (au moins) un vecteur non nul $x \in E$ tel que $u(x) = \lambda x$, d'où $x = u^{-1}(u(x)) = u^{-1}(\lambda x) = \lambda u^{-1}(x)$, donc $u^{-1}(x) = \frac{1}{\lambda} x$ (car $\lambda \neq 0$).

Comme $x \neq 0_E$, cela prouve que $x$ est un vecteur propre de $u^{-1}$ associé à la valeur propre $\frac{1}{\lambda}$.

Ainsi, on a prouvé que si $\lambda$ est valeur propre de $u$, alors $\frac{1}{\lambda}$ est valeur propre de $u^{-1}$. Or $u^{-1}$ est aussi un automorphisme de $E$, donc, de même, les valeurs propres de $u^{-1}$ sont non nulles (on peut ainsi les écrire $\frac{1}{\lambda}$ avec $\lambda \in K^*$) et on a immédiatement :

si $\frac{1}{\lambda}$ est valeur propre de $u^{-1}$, alors $\frac{1}{1/\lambda} = \lambda$ est valeur propre de $(u^{-1})^{-1} = u$. et $E_{\frac{1}{\lambda}}(u^{-1}) \subset E_\lambda(u)$ car $((u^{-1})^{-1}) = E_\lambda(u)$.

Conclusion : $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$ si, et seulement si, $\frac{1}{\lambda}$ est valeur propre de $u^{-1}$ ; et si $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$, alors $E_{\frac{1}{\lambda}}(u^{-1}) = E_\lambda(u)$.

Proposition 3 :

Si deux endomorphismes de $E$, $u$ et $v$, commutent, alors les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$.

Démonstration :

Si $u$ et $v$ commutent, alors, pour tout $\lambda \in K$, $u-\lambda \mathrm{id}_E$ et $v$ commutent aussi, donc $\ker(u-\lambda \mathrm{id}_E) = E_\lambda(u)$ est stable par $v$.

Remarque :

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u \in \mathcal{L}(E)$ et si on note $u_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $u$, alors les valeurs propres de $u_F$ sont les valeurs propres $\lambda$ de $u$ tel que $E_\lambda(u) \cap F \neq \{0_E\}$ et on a alors : $E_\lambda(u_F) = E_\lambda(u) \cap F$.

En effet, $x$ est un vecteur propre de $u_F$ associé à la valeur propre $\lambda$ si, et seulement si, $x \in F$, $x \neq 0_F$ et $u(x) = \lambda x$, c'est-à-dire $x \in F \cap E_\lambda(u)$ et $x \neq 0_E$.

Proposition 4 :

La somme d'une famille finie de sous-espaces propres d'un endomorphisme de $E$ est directe.

Démonstration :

Raisonnons par récurrence sur le nombre $p$ de sous-espaces propres.

• Initialisation pour $p=2$ : supposons que $u \in \mathcal{L}(E)$ possède (au moins) 2 valeurs propres distinctes $\lambda \neq \mu$, d'où 2 sous-espaces propres distincts : $E_\lambda(u)$ et $E_\mu(u)$. Si $x \in E_\lambda(u) \cap E_\mu(u)$ alors $u(x) = \lambda \cdot x$ et $u(x) = \mu \cdot x$, d'où $(\lambda - \mu) \cdot x = 0_E$ d'où $x=0_E$ car $\lambda - \mu \neq 0$. Donc $E_\lambda(u) \cap E_\mu(u) = \{0\}$, ce qui justifie que les 2 sous-espaces propres de $u$ sont en somme directe.

• Hérédité : Soit un entier $p \ge 2$. Supposons que la somme de $p$ sous-espaces propres d'un endomorphisme est directe. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ possédant (au moins) $p+1$ valeurs propres distinctes $\lambda_1, ..., \lambda_{p+1}$.