Définiton 3 :

Soit $A \in M_n(K)$.

• On dit que $\lambda \in K$ est une valeur propre de $A$ s'il existe un vecteur non nul $X \in K^n$ vérifiant $AX = \lambda X$.
• On dit que $X \in K^n$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ si $X$ est non nul et vérifie $AX = \lambda X$.
• Lorsque $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$, on appelle sous-espace propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ l'ensemble noté (dans ce cours) $E_{\lambda}(A)$ et défini par : $E_{\lambda}(A) = \ker(A - \lambda I_n) = \{ X \in K^n, AX = \lambda X \}$
• On appelle équation aux éléments propres l'équation $AX = \lambda X$ d'inconnue $(\lambda, X) \in K \times K^n$.
• L'ensemble des valeurs propres de $A$ est appelé le spectre de $A$ et est noté $Sp(A)$.

Remarques :

• Les éléments propres de $A$ sont les éléments propres de l'endomorphisme de $K^n$ canoniquement associé à $A : K^n \to K^n$, $X \mapsto AX$.
• $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, $\ker(A - \lambda I_n) \ne \{0\}$.
• $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible.
• $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, $\text{rg}(A - \lambda I_n) < n$.
• De plus, d'après le théorème du rang, $\dim E_{\lambda}(A) = n - \text{rg}(A - \lambda I_n)$.
• $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, $\det(A - \lambda I_n) = 0$.
• Pour tout $(\lambda, \mu) \in K^2$, $E_{\lambda}(A + \mu I_n) = E_{\lambda-\mu}(A)$.
• Un matrice réelle $A \in M_n(R)$ peut être considérée comme élément de $M_n(C)$. Dans ce cas, nous pouvons être amené à différencier l'ensemble des valeurs propres réelles de $A$, que l'on pourra noter $Sp_{\mathbb{R}}(A)$ de l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$, que l'on pourra noter $Sp_{\mathbb{C}}(A)$. Nous avons bien sûr : $Sp_{\mathbb{R}}(A) \subset Sp_{\mathbb{C}}(A)$.

Corollaire 11 : Soit $A \in M_n(K)$ et $P \in K[X]$.

• La somme d'une famille finie de sous-espaces propres de $A$ est directe (dans $K^n$).
• Toute famille finie de vecteurs propres de $A$ associés à des valeurs propres distinctes est libre (dans $K^n$).
• Si $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $A$, alors $\sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(A) \leq \dim K^n = n$.
• Toute matrice de $M_n(K)$ possède au plus $n$ valeurs propres.
• Soit $(\lambda, X) \in K \times K^n$. Si $AX = \lambda X$, alors $P(A)X = P(\lambda)X$.
• Ainsi, si $\lambda$ est valeur propre de $A$, alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(A)$, et ce dans ce cas, $E_{\lambda}(A) \subset E_{P(\lambda)}(P(A))$.
• Si $P$ annule $A$, alors toute valeur propre de $A$ est racine de $P$.
• $A \in GL_n(K) \iff 0 \notin Sp(A)$.
• Si $A \in GL_n(K)$, alors $Sp(A) \subset K^*$.
• Si $A \in GL_n(K)$, alors $\lambda \in Sp(A) \iff \frac{1}{\lambda} \in Sp(A^{-1})$.
• Si $A \in GL_n(K)$ et si $\lambda \in Sp(A)$, alors $E_{\lambda}(A^{-1}) = E_{\lambda}(A)$.

Exemple : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. Calculer $A^3 - 8A^2 + 19A$ et en déduire un polynôme annulatenr de $A$, puis le spectre de $A$.

Proposition 12 : Les valeurs propres d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) de $M_n(K)$ sont les éléments de sa diagonale.

Démonstration : Si $A \in M_n(K)$ est triangulaire et admet pour éléments diagonaux les scalaires $a_1, \dots, a_n$ (pas nécessairement distincts), alors, pour tout $\lambda \in K$, la matrice $A-\lambda I_n$ est triangulaire et admet pour coefficients diagonaux : $a_1 - \lambda, \dots, a_n - \lambda$. De plus, on sait qu'une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Ainsi, $\lambda$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, l'un des coefficients diagonaux de $A-\lambda I_n$ est nul, c'est-à-dire si, et seulement si, il existe $i \in [1,n]$, $\lambda = a_i$. Donc $Sp(A) = \{a_1, \dots, a_n\}$.

Proposition 13 : Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$.

• $\lambda \in Sp_C(A) \iff \overline{\lambda} \in Sp_C(A)$.
• $\forall \lambda \in Sp_C(A)$, $E_{\overline{\lambda}}(A) = \{\overline{X} \in \mathbb{C}^n, X \in E_{\lambda}(A)\}$ d'où $\dim E_{\overline{\lambda}}(A) = \dim E_{\lambda}(A)$.

Démonstration : Soit $(\lambda, X) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^n$. On a : $AX = \lambda X \iff \overline{AX} = \overline{\lambda X} \iff \overline{A}\overline{X} = \overline{\lambda}\overline{X}$ et $X \neq 0 \iff \overline{X} \neq 0$. Donc $X$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ si, et seulement si, $\overline{X}$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\overline{\lambda}$, ce qui implique les résultats annoncés.

Proposition 14 : Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ muni d'une base $\mathcal{B}$ une base de $E$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. On note $A$ la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$. $\bullet Sp(A) = Sp(u)$. $\bullet$ et pour toute $\lambda \in Sp(u)$, $x \in E_{\lambda}(u) \iff X = M_{\mathcal{B}}(x) \in E_{\lambda}(A)$.

Démonstration : Soit $x \in E$. Notons $X = M_{\mathcal{B}}(x)$. Nous avons alors : $M_{\mathcal{B}}(u(x)) = AX$. Soit $\lambda \in K$. On a alors : $u(x) = \lambda x \iff AX = \lambda X$, ce qui justifie les résultats annoncés.

Corollaire 15 : Deux matrices semblables ont le même spectre et les sous-espaces propres associés ont la même dimension.

Démonstration : Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme donc elles ont les mêmes valeurs propres. De plus, les sous-espaces propres de ces deux matrices associés à la même valeur propre sont isomorphes au sous-espace propre de l'endomorphisme associé à cette valeur propre, d'où l'égalité de leurs dimensions.

Remarque : Plus précisément, si $A$ et $B$ sont deux matrices semblables de $M_n(K)$, alors il existe $P \in GL_n(K)$ telle que $A = P^{-1}BP$. Ainsi, pour tout $\lambda \in Sp(A)$, on a : $X \in E_{\lambda}(A) \iff AX = \lambda X \iff P^{-1}BPX = \lambda X \iff BPX = \lambda PX \iff PX \in E_{\lambda}(B)$ d'où $E_{\lambda}(B) = \{PX, X \in E_{\lambda}(A)\}$ (et on retrouve le fait qu'ils sont isomorphes).