Définition 2:

Lorsque $E$ est de dimension finie, l'ensemble des valeurs propres de $u \in L(E)$ est appelé le spectre de $u$ et est noté $Sp(u)$.

Proposition 8:

Lorsque $E$ est de dimension finie, $u \in L(E)$ est un automorphisme si, et seulement si, $0 \notin Sp(u)$. De même, $\lambda \in K$ est valeur propre de $u$ si, et seulement si, $u - \lambda id_E \notin GL(E)$. Autrement dit, $Sp(u) = \{\lambda \in K, u - \lambda id_E \notin GL(E)\} = \{\lambda \in K, det(u - \lambda id_E) = 0\}$.

Proposition 9:

Soit $p \in \mathbb{N}^*$. Si $E$ est de dimension finie et si $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u \in L(E)$, alors:

$$\sum_{i=1}^{p} dim E_{\lambda_i}(u) \leq dim E.$$

Corollaire 10:

Lorsque $u$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}$, alors le spectre de $u$ possède au plus $n$ éléments, c'est-à-dire $u$ possède au plus $n$ valeurs propres distinctes.

Démonstration : Notons $p$ le nombre d'éléments de $Sp(u)$. D'après la proposition précédente : $\sum_{\lambda \in Sp(u)} \dim E_\lambda(u) \le \dim E = n$.

De plus, pour $\lambda \in Sp(u)$, $E_\lambda(u) \neq \{0_E\}$ d'où $\dim E_\lambda(u) \ge 1$, donc $\sum_{\lambda \in Sp(u)} \dim E_\lambda(u) \ge \sum_{\lambda \in Sp(u)} 1 = \text{Card}(Sp(u)) = p$, par conséquent : $p \le n$.